Представление вещественных чисел

В математике существует подходящий способ записи, основанный на том факте, что любое число A в системе счисления с основанием Q можно записать в виде A = (±M) * Q ±P , где M называют мантиссой, а показатель степени P – порядком числа.

Некоторое неудобство вносит тот факт, что представление числа с плавающей точкой (запятой)  не является единственным: 3*108 = 30*107 = 0,3*109 = 0,03*1010 = …

Поэтому договорились для выделения единственного варианта записи числа считать, что мантисса всегда меньше единицы, а ее первый разряд содержит отличную от нуля цифру – в нашем примере обоим требованиям удовлетворит только число 0,3*109. Описанное представление чисел называется нормализованным и является единственным. Любое число может быть легко нормализовано. Особо подчеркнем, что требования к нормализации чисел вводятся исходя из соображений обеспечения максимальной точности их представления.

Все сказанное о нормализации можно применять и к двоичной системе:

A = (± M) * 2 ±P,   причем ½ ≤ M <1.

Таким образом, мы видим, что при использовании метода представления вещественных чисел с плавающей запятой фактически хранится два числа: мантисса и порядок. Чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа. Чем больше разрядов занимает порядок, тем шире диапазон от наименьшего отличного от ноля числа до наибольшего числа, представимого в машине при заданном формате.

Вещественные числа в компьютерах различных типов записываются по-разному, тем не менее, все компьютеры поддерживают несколько международных стандартных форматов, различающихся по точности, но имеющих одинаковую структуру следующего вида:

Здесь порядок n-разрядного нормализованного числа задается в так называемой смещенной форме: если для задания порядка выделено k разрядов, то к истинному значению порядка, представленного в дополнительном коде, прибавляют смещение, равное (2k-1 — 1). Например, порядок, принимающий значения в диапазоне от —128 до +127, представляется смещенным порядком, значения которого меняются от 0 до 255.

Использование смещенной формы позволяет производить операции над порядками, как над беззнаковыми числами, что упрощает операции сравнения, сложения и вычитания порядков, а также упрощает операцию сравнения самих нормализованных чисел.

Стандартные форматы представления вещественных чисел:

1) одинарный  —  32-разрядное нормализованное число со знаком, 8-разрядным смещенным порядком и 24-разрядной мантиссой (старший бит мантиссы, всегда равный 1, не хранится в памяти, и размер поля, выделенного для хранения мантиссы, составляет только 23 разряда).

2) двойной  —  64-разрядное нормализованное число со знаком, 11-разрядным смещенным порядком и 53-разрядной мантиссой (старший бит мантиссы не хранится, размер поля, выделенного для хранения мантиссы, составляет 52 разряда).

3) расширенный  —  80-разрядное число со знаком, 15-разрядным смещенным порядком и 64-разрядной мантиссой. Позволяет хранить ненормализованные числа.

Операции

1.Сложение.

2. Вычитание сводится к сложению с дополнительным кодом.

3. Умножение производится по правилу – мантиссы перемножаются, а порядки складываются. Если нужно, то полученное число нормализуется.

4. Деление производится по правилу – мантиссы делятся (делимое на делитель), а порядки вычитаются (порядок делителя из порядка делимого). Если нужно, то полученное число нормализуется

Количество информации. Формулы Хартли и Шеннона.

В 1928 г. американский инженер Р. Хартли предложил научный подход к оценке сообщений. Предложенная им формула имела следующий вид:

I = log2 K ,
Где К – количество равновероятных событий; I – количество бит в сообщении, такое, что любое из К событий произошло. Тогда K=2I.
Иногда формулу Хартли записывают так:

I = log2 K = log2 (1 / р) = – log2 р,
т. к. каждое из К событий имеет равновероятный исход р = 1 / К, то К = 1 / р.

Задача.

Шарик находится в одной из трех урн: А, В или С. Определить сколько бит информации содержит сообщение о том, что он находится в урне В.

Решение.

Такое сообщение содержит I = log2 3 = 1,585 бита информации.

Но не все ситуации имеют одинаковые вероятности реализации. Существует много таких ситуаций, у которых вероятности реализации различаются. Например, если бросают несимметричную монету или “правило бутерброда”.

“Однажды в детстве я уронил бутерброд. Глядя, как я виновато вытираю масляное пятно, оставшееся на полу, старший брат успокоил меня:

–    не горюй, это сработал закон бутерброда.

–    Что еще за закон такой? – спросил я.

–    Закон, который гласит: “Бутерброд всегда падает маслом вниз”. Впрочем, это шутка, – продолжал брат.- Никакого закона нет. Прсто бутерброд действительно ведет себя довольно странно: большей частью масло оказывается внизу.

–    Давай-ка еще пару раз уроним бутерброд, проверим, – предложил я. – Все равно ведь его придется выкидывать.

Проверили. Из десяти раз восемь бутерброд упал маслом вниз.

И тут я задумался: а можно ли заранее узнать, как сейчас упадет бутерброд маслом вниз или вверх?

Наши опыты прервала мать…”
( Отрывок из книги “Секрет великих полководцев”, В.Абчук).

В 1948 г. американский инженер и математик К Шеннон предложил формулу для вычисления количества информации для событий с различными вероятностями.
Если I – количество информации,
К – количество возможных событий,
рi – вероятности отдельных событий,
то количество информации для событий с различными вероятностями можно определить по формуле:

I = – Sum рi log2 рi,
где i принимает значения от 1 до К.

Формулу Хартли теперь можно рассматривать как частный случай формулы Шеннона:

I = – Sum 1 / К log2 (1 / К) = I = log2 К.

При равновероятных событиях получаемое количество информации максимально.

Для измерения количества информации используются следующие единицы:

один двоичный разряд, в котором можно записать два возможных значения – 0 или 1 – называется БИТ (bit – сокращение от англ. binary digit – двоичное число); На физическом уровне бит является ячейкой памяти, которая в каждый момент времени находится в одном из двух состояний: «0» либо «1»;

8 последовательных двоичных разрядов  (8  бит)  называется байтом; с  помощью 1 байта можно представить 28 = 256 различных двоичных последовательностей;

1024 байта называется Килобайтом (сокращенно – Кбайт или просто К);

1024  Кбайта  называют  Мегабайтом (сокращенно – Мбайт или просто М).

Примеры ёмкости различных носителей и устройств

-память RAN 2,00 ГБ;

-диск С – 286 ГБ

-оптический диск Blu-Ray до 50 ГБ;

– оптический диск HD DVD до 30 ГБ.

КОММЕНТАРИИ